Cuando estudiamos el crecimiento exponencial de un organismo (como el cianobacteria), si la tasa de crecimiento es del $6.25\%$, el número después de $x$ días puede representarse como $y = (1+6.25\%)^x$. ¿Tiene sentido esta fórmula si $x$ no es un número entero (por ejemplo, $1.5$ días)? Para responder esta pregunta, debemos extender la definición de exponente desde los enteros hasta los números racionales e incluso reales, lo cual es una necesidad inherente de la expansión del sistema numérico.
Raíz $n$-ésima y potencias fraccionarias
Definición de raíz $n$-ésima: En general, si $x^n=a$, entonces $x$ se llama raíz $n$-ésima de $a$, donde $n>1$ y $n \in \mathbf{N}^*$. La expresión $\sqrt[n]{a}$ se denomina radical.
Potencia fraccionaria: Para unificar las propiedades operativas, establecemos que la potencia fraccionaria positiva de un número positivo es: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ (con $a>0$). Esto significa que todos los radicales pueden transformarse en forma de potencia para realizar operaciones.
Los radicales son una manifestación de la operación de potenciación en dimensiones fraccionarias. Al definir potencias fraccionarias, eliminamos la frontera entre el símbolo radical y los exponentes, permitiendo que las propiedades operativas se unifiquen.
$$(\sqrt[n]{a})^n=a, \quad \sqrt{b}=b^{\frac{1}{2}} \text{ (con } b>0)$$